램지 이론
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1. 개요
램지 이론은 충분히 큰 구조에서 특정 조건을 만족하는 부분 구조가 반드시 존재함을 다루는 수학 분야이다. 램지 정리는 그래프의 변에 여러 색을 칠할 때 특정 색으로 칠해진 완전 부분 그래프가 존재함을 보장하며, 램지 수는 이러한 조건을 만족하는 최소한의 그래프 크기를 나타낸다. 램지 이론은 비구성적이며, 특정 구조의 존재를 증명하지만, 그 구조를 찾는 효율적인 방법을 제공하지 않는다. 주요 결과로는 판데르바르던 정리, 헤일스-주에트 정리, 슈어 정리 등이 있으며, 램지 이론의 결과는 종종 매우 큰 객체를 필요로 하고, 지수적 또는 더 빠르게 증가하는 경계를 가질 수 있다.
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| 램지 이론 | |
|---|---|
| 개요 | |
| 분야 | 수학적 조합론 |
| 연구 대상 | 특정 구조가 충분히 클 경우, 반드시 특정 속성을 갖는 부분 구조를 포함하게 됨 |
| 어원 | 프랭크 램지의 이름에서 유래 |
| 역사적 배경 | |
| 기원 | 1930년 프랭크 램지의 논문 "수학적 논리의 문제에 관하여" |
| 발전 | 1935년 에르되시 팔과 세케레시 죄르지의 램지 유형 논문 발표 이후 다양한 분야로 확장 (이론 컴퓨터 과학, 정보 이론, 미분 기하학, 정수론 등) |
| 핵심 개념 | |
| 램지 수 | 그래프의 색칠 문제와 관련된 최소 크기 |
| 램지의 정리 | 충분히 큰 구조는 필연적으로 정돈된 부분 구조를 포함함 |
| 화이트헤드 문제 | 램지 이론의 무한 버전과 관련된 문제 |
| 응용 분야 | |
| 이론 컴퓨터 과학 | 복잡도 이론, 알고리즘 설계 |
| 정보 이론 | 부호화 이론 |
| 미분 기하학 | 기하학적 구조 연구 |
| 정수론 | 수론적 패턴 분석 |
| 관련 개념 | |
| 투란의 그래프 정리 | 그래프 이론의 중요한 결과 |
| 세메레디의 정리 | 정수론의 중요한 결과 |
| 헤일스-주엣 정리 | 조합론적 정리 |
2. 램지 정리
램지 정리는 램지 이론의 가장 기본적인 정리 중 하나로, 완전 그래프의 각 변을 c가지 색 중 하나로 칠할 때 나타나는 현상에 대한 정리이다. 임의의 자연수 c와 n₁, n₂, ..., nc에 대해, 충분히 큰 완전 그래프의 각 변을 c가지 색 중 하나로 칠하면, 어떤 i번째 색에 대해 ni개의 점으로 이루어진 단색(單色)의 클릭이 반드시 존재한다. 이 정리가 성립하기 위해 필요한 완전 그래프의 최소 크기를 램지 수라고 한다.
2. 1. 예시
최소 6명 이상이 있는 파티에서는 서로 아는 세 사람(각각 서로를 안다) 또는 서로 모르는 세 사람(아무도 다른 두 사람을 모른다)이 있다. 친구와 낯선 사람에 대한 정리를 참조하라.이는 램지 정리의 특수한 경우이다. 주어진 정수 ''c''와 ''n''1,...,''n''''c''에 대해, 차수가 충분히 큰 완전 그래프의 변을 ''c''개의 색으로 칠하면, 특정 색 ''i''에 대해 차수가 ''ni''인 완전 부분 그래프가 존재한다. 위의 예시는 ''c'' = 2 (빨강, 파랑)이고 ''n''1 = ''n''2 = 3 (세 명)인 경우이며, 이 경우 램지 수는 6이다.
3. 램지 이론의 주요 결과
램지 이론은 반 데르 바르덴 정리, 헤일스-제위트 정리 외에도 다양한 중요한 결과들을 포함한다.
램지 이론의 결과는 일반적으로 두 가지 주요 특징을 갖는다. 첫째, 비구성적이다. 즉, 어떤 구조가 존재한다는 것을 보여주지만, 이 구조를 찾는 과정(단순한 무차별 대입 검색 외에는)을 제공하지 않는다.[3] 예를 들어, 비둘기집 원리가 이러한 형태를 띤다. 둘째, 램지 이론의 결과는 충분히 큰 객체가 반드시 주어진 구조를 포함해야 한다고 말하지만, 종종 이러한 결과의 증명은 이러한 객체가 엄청나게 커야 함을 요구한다. 즉, 지수적 증가 또는 심지어 아커만 함수만큼 빠르게 성장하는 경계가 드물지 않다.[3]
램지 이론의 정리는 일반적으로 두 가지 유형 중 하나이다. 램지의 정리 자체를 모델로 한 많은 그러한 정리들은 큰 구조적 객체의 모든 분할에서 하나의 클래스가 반드시 자체 구조적 객체를 포함한다고 주장하지만, 이것이 어떤 클래스인지는 알려주지 않는다. 다른 경우에는, '램지형' 결과의 이유가 가장 큰 분할 클래스가 항상 원하는 하위 구조를 포함하고 있다는 것이다. 이러한 후자의 종류의 결과는 투란 정리에 따라 '밀도 결과' 또는 '투란형 결과'라고 불린다. 주목할 만한 예로는 세메레디 정리가 있으며, 이는 반 데르 바르덴 정리를 강화한 것이며, 헤일스-제위트 정리의 밀도 버전도 있다.[4]
3. 1. 판데르바르던의 정리
판데르바르던의 정리(Van der Waerden's theorem)는 임의의 자연수 ''c'', ''n''이 주어질 때, 연속하는 V개의 자연수를 c개의 색으로 어떻게 칠하더라도 한가지 색으로 이루어진 길이 n의 등차수열이 존재하도록 하는 자연수 V가 존재한다는 정리이다.[2] 예를 들어, 3개의 색깔과 길이 3의 등차수열을 생각했을 때, 충분히 긴 연속된 자연수를 3가지 색으로 칠하면, 같은 색으로 칠해진 길이 3의 등차수열이 반드시 존재한다.이 정리는 램지 이론의 핵심적인 결과 중 하나이며, 다음과 같은 특징을 갖는다.
- 비구성적(Non-constructive): 어떤 구조(여기서는 같은 색으로 칠해진 길이 n의 등차수열)가 존재한다는 것을 보여주지만, 이 구조를 찾는 방법(단순한 무차별 대입 검색 외에는)을 제공하지 않는다.[3]
- 큰 수의 필요성: 램지 이론의 결과는 충분히 큰 객체가 반드시 주어진 구조를 포함해야 한다고 말하지만, 종종 이러한 결과의 증명은 이러한 객체가 엄청나게 커야 함을 요구한다. 즉, 지수적 증가 또는 심지어 아커만 함수만큼 빠르게 성장하는 경계가 드물지 않다.[3]
3. 2. 헤일스-주에트 정리
임의의 자연수 ''c''와 ''n''에 대해, 충분히 큰 차원의 ''n''×''n''×...×''n'' 초입방체의 셀들을 ''c''가지 색으로 칠하면, 같은 색으로 칠해진 길이 ''n''의 줄(행, 열 등)이 반드시 존재한다. 이는 여러 명이 하는 ''n''렬 틱택토 게임은 충분히 큰 차원에서 플레이한다면 ''n''이 아무리 크거나 플레이어가 아무리 많아도 절대 무승부로 끝나지 않는다는 것을 의미한다.[2] 헤일스-주에트 정리는 판데르바르던 정리를 함의한다.[2]3. 3. 슈어 정리
슈어 정리는 반 데르 바르덴 정리와 유사한 정리로, 임의의 자연수 ''c''에 대해, 충분히 큰 범위의 자연수를 ''c''가지 색으로 칠하면, ''x'', ''y'', ''x''+''y''가 모두 같은 색인 자연수 ''x'', ''y''가 반드시 존재한다는 내용을 담고 있다.[2][5] 이 정리의 일반화된 형태로는 라도 정리, 라도-폴크만-샌더스 정리, 힌드만 정리, 밀리켄-테일러 정리 등이 있다.[2][5]3. 4. 기타 정리
슈어 정리: 임의의 c가 주어지면, 1부터 N까지의 숫자를 c가지 색으로 칠했을 때, x, y, x+y가 모두 같은 색이 되는 정수 x, y의 조합이 존재하도록 하는 자연수 N이 존재한다.[2] 이 정리의 일반화된 형태로는 라도 정리, 라도-폴크만-샌더스 정리, 힌드만 정리, 밀리켄-테일러 정리 등이 있다.[2]4. 램지 이론의 특징 및 한계
램지 이론의 결과는 일반적으로 두 가지 주요 특징을 갖는다. 첫째, 비구성적이다. 즉, 어떤 구조가 존재한다는 것은 보여줄 수 있지만, 단순한 무차별 대입 검색 외에 이 구조를 찾는 방법을 제시하지는 못한다. 예를 들어, 비둘기집 원리가 이러한 형태를 띤다.[3]
둘째, 램지 이론의 결과는 충분히 큰 객체가 반드시 주어진 구조를 포함해야 한다고 말하지만, 종종 이러한 결과의 증명은 이러한 객체가 엄청나게 커야 함을 요구한다. 지수적 증가나 아커만 함수만큼 빠르게 성장하는 경계가 드물지 않다. 몇몇 작은 사례에서는 상한과 하한이 개선되지만, 일반적으로는 그렇지 않다. 많은 경우 이러한 경계는 증명의 인공물이며, 개선 가능성은 알려져 있지 않다. 어떤 경우에는 모든 경계가 매우 커야 하며, 때로는 원시 재귀 함수보다도 크다는 것이 알려져 있다. 파리-해링턴 정리가 그 예시이다. 그레이엄 수는 수학적 증명에 사용된 가장 큰 숫자 중 하나이며, 램지 이론 관련 문제의 상한이다. 또 다른 큰 예로는 부울 피타고라스 삼중항 문제가 있다.[3]
5. 램지 이론의 종류
램지 이론의 정리는 일반적으로 다음 두 가지 유형으로 나뉜다.
- 램지형 결과: 큰 구조적 객체의 모든 분할에서 하나의 클래스가 반드시 자체 구조적 객체를 포함한다고 주장하지만, 이것이 어떤 클래스인지는 알려주지 않는다. 램지 정리 자체가 이러한 유형의 대표적인 예시이다.
- 밀도 결과 (투란형 결과): '램지형' 결과가 성립하는 이유가 가장 큰 분할 클래스가 항상 원하는 하위 구조를 포함하고 있다는 것을 보여준다. 투란 정리가 이러한 유형의 대표적인 예시이며, 세메레디 정리는 반 데르 바르덴 정리를 강화한 밀도 결과이다. 헤일스-제위트 정리의 밀도 버전도 존재한다.[4]
이러한 램지 이론의 결과들은 일반적으로 두 가지 주요 특징을 갖는다. 첫째, 비구성적이다. 즉, 어떤 구조가 존재한다는 것을 보여줄 수는 있지만, 이 구조를 찾는 과정(무차별 대입 검색 외에는)을 제공하지 않는다. 예를 들어, 비둘기집 원리가 이러한 형태를 띈다. 둘째, 램지 이론의 결과는 충분히 큰 객체가 반드시 주어진 구조를 포함해야 한다고 말하지만, 종종 이러한 결과의 증명은 이러한 객체가 엄청나게 커야 함을 요구한다. 즉, 지수적 증가로, 또는 심지어 아커만 함수만큼 빠르게 성장하는 경계가 드물지 않다.[3]
참조
[1]
서적
Rudiments of Ramsey Theory
American Mathematical Society
[2]
간행물
Ramsey Theory
John Wiley and Sons
[3]
논문
Two-hundred-terabyte maths proof is largest ever
2016-06-02
[4]
간행물
A density version of the Hales–Jewett theorem
[5]
간행물
Ramsey Theory
John Wiley and Sons
[6]
간행물
A density version of the Hales–Jewett theorem
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